Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $9 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{4}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2 x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{4 x^{2}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $9$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

Этап 3.4.6.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

Этап 3.4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

Этап 3.4.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$