Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Этап 7.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Этап 7.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Этап 7.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Этап 7.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Этап 7.8.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Этап 7.9

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.9.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Этап 7.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Этап 7.11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Этап 7.12

Перепишем $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ в виде $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Этап 7.13

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Этап 7.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Этап 7.14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.2.1

Умножим $- (- x^{2} e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Этап 7.14.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Этап 7.14.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Этап 7.14.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.3.1.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Этап 10.2

Упростим $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Этап 10.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Этап 10.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Этап 10.2.1.4

Разделим $C$ на $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + 2 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Этап 10.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2 + C = 0$

Этап 10.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$C = - 2$

Этап 11

Подставим $- 2$ вместо $C$ в $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $- 2$ вместо $C$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Этап 11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$