Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) d y = x (y d) x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.3.1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 3.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 3.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 3.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 3.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 4.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.3

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 4.6.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

Этап 4.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Этап 4.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 4.6.1.4

Применим правило умножения к $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 4.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 4.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 4.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 4.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 4.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 4.8

Перепишем $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 4.9.2

Умножим обе части на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Сократим общий множитель ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$