Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 8 + x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 8 + x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $8 + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $12$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = 4 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y + C_{1} = 8 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $8 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$