Математический анализ Примеры

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{y^{4}}$ и $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Объединим $y^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.1.2

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.2.5.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{3}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ умножим на $y^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ на $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ .

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{4} y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- x y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $K y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ .

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Этап 3.3.2.5

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ .

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ на $x^{4} - x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ на $x^{4} - x + K$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4} - x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Этап 3.3.5.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Этап 3.3.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Этап 3.3.5.7.2

Возведем $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ в степень $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Этап 3.3.5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Этап 3.3.5.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Этап 3.3.5.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ в виде $x^{4} - x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ в виде ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.3.5.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.3.5.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.3.5.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.3.5.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Этап 3.3.5.7.5.5

Упростим.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Этап 3.3.5.8

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$