Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{9 + 20 x}{x}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} + \frac{20 x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Разделим $20$ на $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int 20 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \int \frac{1}{x} d x + \int 20 d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 20 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + 20 x + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \ln (| x |) + 20 x + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (20 x) + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $20$ на $3$ .

$y^{3} = 60 x + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$y^{3} = 60 x + 27 \ln (| x |) + 3 C$

Этап 3.3

Упростим $27 \ln (| x |)$ путем переноса $27$ под логарифм.

$y^{3} = 60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + C}$