Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = 4 e^{x} + 4 x$ , $f (0) = - 10$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = (4 e^{x} + 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$f + C_{1} = 2 x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 10$ вместо $f$ в $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ .

$- 10 = 2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$ .

$2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$

Этап 4.2

Упростим $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 10$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 10$

Этап 4.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 10$

Этап 4.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4 + K = - 10$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4 + K = - 10$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$K = - 10 - 4$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $- 10$ .

$K = - 14$

Этап 5

Подставим $- 14$ вместо $K$ в $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 14$ вместо $K$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} - 14$