Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \cdot \sin (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \cdot \sin (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \cdot \sin (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cdot \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \cdot \sin (x)$

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Этап 7.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Этап 7.3.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Этап 7.4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Этап 7.5

Перепишем $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ в виде $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x \cos (x) x + \sin (x) x + C x$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = - (x \cdot x) \cos (x) + \sin (x) x + C x$

Этап 8.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$

Этап 8.3.2.1.3

Изменим порядок множителей в $- x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + x \sin (x) + C x$

Этап 8.3.2.1.4

Перенесем $x \sin (x)$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + C x + x \sin (x)$

Этап 8.3.2.1.5

Изменим порядок $- x^{2} \cos (x)$ и $C x$ .

$y = C x - x^{2} \cos (x) + x \sin (x)$