Математический анализ Примеры

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 (y + 3) d x$ из обеих частей уравнения.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (y + 3)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{- 1}{y + 3}$ и $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Этап 3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $y + 3$ из $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.2

Разделим $y$ на $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

Этап 4.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

Этап 4.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

Этап 4.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 3$ .

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

Этап 4.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

Этап 4.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.8

Пусть $u = y + 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Пусть $u = y + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 4.2.8.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 4.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 4.2.8.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.10

Упростим.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.12.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$