Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $π$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Этап 4.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{π^{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Этап 4.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Этап 5

Подставим $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$