Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d r} = \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $6 + \sqrt{u}$ .

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (6 + \sqrt{u}) \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $6 + \sqrt{u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (6 + \sqrt{u}) \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 6 + \sqrt{r}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(6 + \sqrt{u}) d u = (6 + \sqrt{r}) d r$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 6 + \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 d u + \int \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$6 u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2.5

Упростим.

$6 u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \int 6 d r + \int \sqrt{r} d r$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Этап 2.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r}$ в виде $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $r^{\frac{1}{2}}$ по $r$ имеет вид $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 6 r + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 6 r + K$