Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x^{2} + 8$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x^{2} + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $u^{- \frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $u^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 2.3.5.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Этап 4.2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Этап 4.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Этап 4.2.7

Умножим $3$ на $4$ .

$12 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$K = - 12$

Этап 5

Подставим $- 12$ вместо $K$ в $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 12$ вместо $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$