Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x + 11$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 11$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 11$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 11$

Этап 2.3.2

Перенесем $11$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + 11 e^{3 x}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + 11 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.4.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.6

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.6.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.6.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.7

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.9.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.10

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int 11 e^{3 x} d x$

Этап 6.11

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int e^{3 x} d x$

Этап 6.12

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.12.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.12.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 6.13

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 6.14

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6.15

Объединим $\frac{1}{3}$ и $11$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{11}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6.16

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{11}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 6.17

Упростим.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{11}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 6.18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 6.18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.1.2

Объединим $\frac{x}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.1.3

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{3 x}}{9}$ в числитель.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.4.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.4.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.4.4

Сократим общий множитель.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.4.5

Перепишем это выражение.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.5

Объединим $2$ и $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.8

Чтобы записать $2 x e^{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.9

Объединим $2 x e^{3 x}$ и $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.11.1

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.11.1.1

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.11.1.2

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $- 2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.11.1.3

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 6.19.11.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C$ на $e^{3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.3

Перенесем $- 1$ влево от $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.4

Перепишем $- 1 e^{3 x}$ в виде $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{3 x} x$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.7

Объединим $\frac{2}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.8

Объединим $2 e^{3 x} x$ и $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.8.1

Перенесем $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.8.2

Чтобы записать $2 x e^{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.8.3

Объединим $2 x e^{3 x}$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.9.1

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.9.1.1

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.9.1.2

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.9.1.3

Вынесем множитель $2 e^{3 x}$ из $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.9.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.10

Объединим $\frac{11}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C + \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{C + \frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{C + \frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{C + \frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{C + \frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Добавим $- 2 e^{3 x}$ и $11 e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{6 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.5.2

Изменим порядок множителей в $6 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Вынесем множитель $3 e^{3 x}$ из $6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1.1

Вынесем множитель $3 e^{3 x}$ из $6 x e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.1.2

Вынесем множитель $3 e^{3 x}$ из $9 e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x) + 3 e^{3 x} (3)}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.1.3

Вынесем множитель $3 e^{3 x}$ из $3 e^{3 x} (2 x) + 3 e^{3 x} (3)$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x + 3)}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x + 3)}{3}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.2.2

Разделим $e^{3 x} (2 x + 3)$ на $1$ .

$y = \frac{C + e^{3 x} (2 x + 3)}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{C + e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 3}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{C + 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 3}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + 2 e^{3 x} x + 3 e^{3 x}}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.7

Изменим порядок множителей в $C + 2 e^{3 x} x + 3 e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + 2 x e^{3 x} + 3 e^{3 x}}{e^{3 x}}$