Математический анализ Примеры

$x (y d) y - (x + 1) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(x + 1) d x$ к обеим частям уравнения.

$x y d y = (x + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $x + 1$ .

$y d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 5.3

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Этап 5.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$