Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{81}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2} + \frac{1}{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $\frac{1}{81}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{81} + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{81}$ в виде ${(\frac{1}{9})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{9}$ .

$1 \cdot 9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{9}$ .

$9 \arctan (x \cdot 9) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.4

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$9 \arctan (9 x) = t + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $9 \arctan (9 x) = t + K$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $9 \arctan (9 x) = t + K$ на $9$ .

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\arctan (9 x)$ на $1$ .

$\arctan (9 x) = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арктангенса.

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$

Этап 3.3

Разделим каждый член $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + K)}{9}$