Математический анализ Примеры

$9 y \frac{d y}{d x} = 7 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$9 y d y = 7 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 9 y d y = \int 7 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int y d y = \int 7 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} = \frac{7}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2}) = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{9}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y^{2}}{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{7}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7 x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{7 x^{3}}{3} + \frac{2}{9} K$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим.

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2}{9} K$

Этап 3.2.2.1.1.4

Объединим $\frac{2}{9}$ и $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $7$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $\frac{2 K}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2 K}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{9 \cdot 3}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{27}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3} + 2 K \cdot 3}{27}}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{27}}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{27}}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + K \cdot 3)}{27}}$

Этап 3.4.4.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (7 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{27}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Этап 3.4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Этап 3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Этап 3.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.8

Объединим.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 3.4.9

Умножим $\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 3.4.10

Умножим $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.11.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 3.4.11.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 3.4.11.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 3.4.11.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.11.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.11.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.11.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.11.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.11.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.11.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Этап 3.4.11.7.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.13

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$