Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Этап 2.3

Умножим $e^{2 t}$ на $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 6.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 6.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 6.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 6.5

Упростим.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 6.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ на $e^{2 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ на $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $\frac{2}{5}$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Этап 9.3.2

Чтобы записать $\frac{2}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 9.3.3

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Этап 9.3.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Этап 9.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Этап 9.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Этап 9.3.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Этап 9.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{1}{10}$

Этап 10

Подставим $- \frac{1}{10}$ вместо $C$ в $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $- \frac{1}{10}$ вместо $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{1}{e^{2 t}}$ на $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Этап 10.2.3

Перенесем $10$ влево от $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$