Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sqrt{x}}{4 y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Этап 2.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 4} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + K$