Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{5} x^{3}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $\frac{2}{5}$ вместо $y$ в $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Этап 9.2.3

Разделим $C$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $\frac{1}{5}$ из обеих частей уравнения.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Этап 9.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Этап 10

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $C$ в $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 10.2.2

Объединим.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Этап 10.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$