Математический анализ Примеры

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 y + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 y + t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Этап 3.3

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Этап 3.4

Поскольку $t$ является константой относительно $x$ , производная $t$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = 0$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Этап 5.3.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 6.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y d t + (2 y + t) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $2 y + t$ на $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $2 y + t$ на $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 12.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 12.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{2 y + t}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Этап 13.3

Разделим дробь на несколько дробей.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Этап 13.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Этап 13.5.2

Разделим $2$ на $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Этап 13.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Этап 13.7

Поскольку $t$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $t$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Этап 13.8

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Этап 13.9

Упростим.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$