Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{2} + 2)}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = (3 x^{2} + 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int 3 x^{2} + 2 d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} + 2 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 2 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{3} + 2 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{3} + 2 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (x^{3} + 2 x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = 2 x^{3} + 4 x + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} + 4 x + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 4 x + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 4 x + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x) + 2 K}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} + 2 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$