Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x + 2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{3 x + 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$