Математический анализ Примеры

$(2 x y^{3} + y \cos (x)) d x + (3 x^{2} y^{2} + \sin (x)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + y \cos (x)]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y^{3} + y \cos (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{3}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\cos (x)$ является константой относительно $y$ , производная $y \cos (x)$ по $y$ равна $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x)$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} + \sin (x)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} y^{2}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y^{2} x + \cos (x)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 y^{2} x + \cos (x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} + \sin (x) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Этап 5.2

Поскольку $3 x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3 x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int \sin (x) d y$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \sin (x) y + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) + \sin (x) y + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y^{3}$ по $x$ равна $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\sin (x) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y^{3} x + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 8.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 y^{3} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x$

Этап 9.1.2

Вычтем $y \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x y^{3}$ и $- 2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $2 y^{3} x$ из $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 0 - y \cos (x)$

Этап 9.1.3.3

Добавим $y \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - y \cos (x)$

Этап 9.1.3.4

Вычтем $y \cos (x)$ из $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Этап 12

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + y \sin (x) + C$