Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$