Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = t^{- \frac{3}{2}}$ , $s (4) = - 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$s + C_{1} = - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ в виде $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$s + C_{1} = \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$s + C_{1} = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $4$ вместо $t$ и $- 1$ вместо $s$ в $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ .

$- 1 = - \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$ .

$- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{2^{1}} + K = - 1$

Этап 4.2.1.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1 + K = - 1$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + K = - 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$K = - 1 + 1$

Этап 4.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$K = 0$

Этап 5

Подставим $0$ вместо $K$ в $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $K$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 5.2

Добавим $- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$