Математический анализ Примеры

$(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x y - 2 a y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - 2 a y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x y - 2 a y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x y$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2 a$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 a y^{2}$ по $y$ равна $- 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 4 a y$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 a y + 3 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - 2 a y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a y x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 a y x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2 a y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 a y x$ по $x$ равна $- 2 a y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 a y + 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 4 a y + 3 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 a y + 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 4 a y + 3 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 a y + 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - 2 a y x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - 2 a y x$ вместо $N$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $- 4 a y$ и $2 a y$ .

$\frac{- 2 a y + 3 x - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x^{2} - 2 a y x}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 a y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x - 2 a y x}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 a y x$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x + x (- 2 a y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 a y)$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x (x - 2 a y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 2 a y + x$ и $x - 2 a y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x y - 2 a y^{2}$ на $x$ .

$(3 x y - 2 a y^{2}) x d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x y x - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - 2 a y x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) x d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перенесем $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y (x \cdot x)) d y = 0$

Этап 6.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x^{2}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Этап 8.2

Поскольку $3 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 a y^{2} x d x$

Этап 8.4

Поскольку $- 2 a y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2 a y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} \int x d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.3

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 8.7.5

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + a y^{2} \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Этап 8.7.6

Объединим $a$ и $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Этап 8.7.7

Объединим $y^{2}$ и $\frac{a (- 2 x^{2})}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} (a (- 2 x^{2}))}{2} + C$

Этап 8.7.8

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Этап 8.7.9

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.9.1

Вынесем множитель $2$ из $y^{2} a (- 2 x^{2})$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2} + C$

Этап 8.7.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Этап 8.7.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Этап 8.7.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- x^{2})}{1} + C$

Этап 8.7.9.2.4

Разделим $y^{2} a (- x^{2})$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $y x^{3}$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.3.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $a \cdot - 1 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} a (- x^{2})$ по $y$ равна $a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.4.3

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$x^{3} - 1 \cdot a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.4.4

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$x^{3} - a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3}$

Этап 12.1.2

Добавим $2 x^{2} a y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 0 + 2 x^{2} a y$

Этап 12.1.3.2

Добавим $- 2 a y x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 2 x^{2} a y$

Этап 12.1.3.3

Изменим порядок множителей в членах $- 2 a y x^{2}$ и $2 x^{2} a y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{2} a y + 2 x^{2} a y$

Этап 12.1.3.4

Добавим $- 2 x^{2} a y$ и $2 x^{2} a y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Этап 15

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} a x^{2} + C$