Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$