Математический анализ Примеры

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2.3.3

Поскольку $0.2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $0.2$ из-под знака интеграла.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2.3.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 2.3.4.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 2.3.4.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 2.3.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Этап 2.3.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$