Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = - 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 t d t}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 \int t d t}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- t^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- t^{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- t^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- t^{2}}$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{- t^{2}}$ на $0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $t$ имеет вид $0$ .

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- t^{2}} y = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- t^{2}} y = C$ на $e^{- t^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- t^{2}} y = C$ на $e^{- t^{2}}$ .

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- t^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$