Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 7}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $(x + 7) y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x + 7$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 7$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

Этап 3.3

Упростим $3 \ln (| x + 7 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$