Математический анализ Примеры

$6 x^{2} d x - 2 (y d) y = 0$

Этап 1

Вычтем $6 x^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y d y = - 6 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 2 y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$- y^{2} + C_{1} = - 6 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 6}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 2 x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- y^{2} = - 2 x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 x^{3}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 x^{3})$ в виде $- (- 2 x^{3})$ .

$y^{2} = - (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y^{2} = 2 x^{3} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - K$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} - K}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

Этап 3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{2 x^{3} + K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} + K}$