Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = 5 x + 7$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{4 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{4})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{4}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{4}{x}$ и $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{4} x + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + x^{4} \cdot 7$

Этап 2.3.3

Перенесем $7$ влево от $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Этап 6.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$x^{4} y = 5 \int x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Этап 6.4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6}) x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 6.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{6}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 6.6.2.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $\frac{5}{6} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{2}}{1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{5}{6} x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{5}{6} x^{2} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{5}{6}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $\frac{7}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.4

Разделим $\frac{7}{5} x$ на $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.4

Объединим $\frac{7}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$