Математический анализ Примеры

$(y + 1) d x - x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(y + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$- x d y = - (y + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (y + 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (y + 1)}$ в числитель.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Вычтем $\ln (| x |)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $\ln (| y + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Этап 5.3.3.1.4

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

Этап 5.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

Этап 5.8.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Этап 5.8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Этап 5.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

Этап 5.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} | x |$ .

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

Этап 5.8.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

Этап 5.8.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

Этап 5.8.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C | x | - 1$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x | - 1$