Математический анализ Примеры

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y + x + 2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x + 2 y + 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y + x + 2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.6

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $x + 2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 = 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x + 2 = 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 - 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x + 1$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x + 1$ вместо $N$ .

$\frac{x + 2 - 1}{x + 1}$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y + x + 2 y + 1$ на $e^{x}$ .

$(x y + x + 2 y + 1) e^{x} d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + 1 e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x + 1$ на $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) e^{x} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + 1 e^{x}) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + e^{x}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + e^{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{x} + e^{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(x e^{x} + e^{x}) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $x e^{x} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.6

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.7

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.3.8

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x e^{x}) + y (2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.5.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$y x e^{x} + 2 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x}$

Этап 12.1.2

Вычтем $2 y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $x y e^{x}$ из $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} + 0 - 2 y e^{x}$

Этап 12.1.3.2

Добавим $x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - 2 y e^{x}$

Этап 12.1.3.3

Вычтем $2 y e^{x}$ из $2 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 0 + e^{x}$

Этап 12.1.3.4

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $x e^{x} + e^{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 13.5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

Этап 13.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

Этап 13.7

Упростим.

$g (x) = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

Этап 13.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Добавим $- e^{x}$ и $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} + 0 + C$

Этап 13.8.2

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$g (x) = x e^{x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y e^{x} + x e^{x} + C$