Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Этап 1.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{y^{2} + 1}{y}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Этап 3.7.4.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Этап 3.7.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Этап 3.7.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 3.7.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 3.7.4.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 3.7.4.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Этап 3.7.4.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Этап 3.7.4.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 3.7.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Этап 3.7.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Этап 3.7.4.1.5.2

Умножим $e^{2 C}$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Этап 3.7.4.1.6

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Этап 3.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Этап 3.7.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Этап 3.7.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$