Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 3.3

Развернем $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.4

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$