Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

Этап 1.2

Изменим порядок $x$ и $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (t)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (t^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$t^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{t}$ и $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

Этап 3.3

Перенесем $4$ влево от $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Этап 7.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ на $t^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ на $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $t^{3}$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $\frac{4}{3} t^{3}$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{4}{3} t$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $t$ .

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$