Математический анализ Примеры

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(y + 1) e^{x} d x$ из обеих частей уравнения.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ в числитель.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y + 1$ из $(y + 1) e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ и $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = e^{x} + 1$ . Тогда $d u_{2} = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{x} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0$

Этап 4.3.2.1.4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$