Математический анализ Примеры

$(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$ на $13 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$ на $13 + x$ .

$\frac{(13 + x) \frac{d y}{d x}}{13 + x} = \frac{2 y}{13 + x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $13 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(13 + x) \frac{d y}{d x}}{13 + x} = \frac{2 y}{13 + x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{13 + x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{13 + x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{13 + x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{13 + x}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{13 + x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{13 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{13 + x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{13 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{13 + x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 13 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 13 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $13 + x$ .

$\frac{d}{d x} [13 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $13 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $13 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 13 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 13 + x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 13 + x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| 13 + x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| 13 + x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| 13 + x |}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 13 + x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln ({(13 + x)}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${(13 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} {(13 + x)}^{2} = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${(13 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} {(13 + x)}^{2} = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим $e^{C} {(13 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Перепишем ${(13 + x)}^{2}$ в виде $(13 + x) (13 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((13 + x) (13 + x))$

Этап 3.5.4.1.2

Развернем $(13 + x) (13 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (13 (13 + x) + x (13 + x))$

Этап 3.5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (13 \cdot 13 + 13 x + x (13 + x))$

Этап 3.5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (13 \cdot 13 + 13 x + x \cdot 13 + x \cdot x)$

Этап 3.5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.3.1.1

Умножим $13$ на $13$ .

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + x \cdot 13 + x \cdot x)$

Этап 3.5.4.1.3.1.2

Перенесем $13$ влево от $x$ .

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + 13 \cdot x + x \cdot x)$

Этап 3.5.4.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + 13 x + x^{2})$

Этап 3.5.4.1.3.2

Добавим $13 x$ и $13 x$ .

$| y | = e^{C} (169 + 26 x + x^{2})$

Этап 3.5.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} \cdot 169 + e^{C} (26 x) + e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.5.1

Перенесем $169$ влево от $e^{C}$ .

$| y | = 169 \cdot e^{C} + e^{C} (26 x) + e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.4.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = 169 \cdot e^{C} + 26 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.4.1.6

Изменим порядок множителей в $169 e^{C} + 26 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = 169 e^{C} + 26 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Этап 3.5.4.1.7

Перенесем $169 e^{C}$ .

$| y | = 26 x e^{C} + x^{2} e^{C} + 169 e^{C}$

Этап 3.5.4.1.8

Изменим порядок $26 x e^{C}$ и $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 26 x e^{C} + 169 e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 26 x e^{C} + 169 e^{C})$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm (x^{2} C + 26 x C + C)$