Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{e^{x} - y}{x}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.1.2

Вычтем $\frac{- y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.4.3

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.4.4

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x y = e^{x} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x y = e^{x} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$