Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{7 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $7 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{2}{7}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \int t^{2} d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ в виде $\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{2}{7}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{21} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{21} t^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{2}{21}$ и $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 \frac{2 t^{3}}{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{2 t^{3}}{21}$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 t^{3})}{21} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{4 t^{3}}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{21}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K \cdot \frac{21}{21})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{21}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + \frac{K \cdot 21}{21})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + K \cdot 21}{21}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $21$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + 21 K}{21}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{2 t^{3} + 21 K}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K) \cdot 21}}{21}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $21$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$