Математический анализ Примеры

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $v$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Этап 2.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Этап 2.2.3

Пусть $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d v$ , следовательно $- 2 d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Этап 2.2.3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

По правилу суммы производная $13.6 - \frac{v}{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Этап 2.2.3.1.2.2

Поскольку $13.6$ является константой относительно $v$ , производная $13.6$ относительно $v$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Этап 2.2.3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $v$ , производная $- \frac{v}{2}$ по $v$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 2.2.3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 2.2.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.3.1.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Этап 2.2.4.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Этап 2.2.4.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Этап 2.2.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Этап 2.2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Этап 2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.7.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7.4.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.9

Упростим.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.11

Изменим порядок членов.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ на $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Этап 3.1.2.2

Объединим $v$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Этап 3.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $13.6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Этап 3.4.4

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{v}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.1.1.2.2

Умножим $v$ на $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Этап 3.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Упростим $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Этап 3.4.5.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Этап 3.4.6

Изменим порядок $- \frac{t}{3}$ и $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Этап 4.3

Перепишем $e^{- \frac{t}{3} + C}$ в виде $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{- \frac{t}{3}}$ и $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Этап 4.5

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$