Математический анализ Примеры

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(2 x + Y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $2 Y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Этап 3.4

Умножим $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Этап 3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{- 2}{2 Y + x}$ и $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Этап 3.5

Объединим $Y$ и $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Этап 3.10

Перепишем $- (2 x + Y)$ в виде $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = 2 Y + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = 2 Y + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $2 Y + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $2 Y$ является константой относительно $x$ , производная $2 Y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Этап 4.3.3

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Этап 4.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.6

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.12

Поскольку $2 Y$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2 Y$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Этап 4.3.15

Поскольку $Y$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $Y$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.16

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Этап 4.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Упростим.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Этап 4.3.17.2

Добавим $- 4 Y \ln (| u |)$ и $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Этап 4.3.18

Заменим все вхождения $u$ на $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Этап 4.3.19.3.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Этап 4.3.20

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$