Математический анализ Примеры

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Этап 1.2

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 y x^{2}$ по $y$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $- x^{3} - 2 y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2 y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Этап 4.3

Подставим $3 y x^{2}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 y x^{2}$ вместо $M$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6}{3 y}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $3 y x^{2}$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 y x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $- x^{3} - 2 y^{4}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- x^{3} - 2 y^{4}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.11

Перепишем $- (x^{3} + 2 y^{4})$ в виде $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{3}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{3}{y}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $3$ на $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{3}}{y}$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Добавим $- x^{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Добавим $0$ и $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.4

Разделим $2 y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Этап 12.1.2

Вычтем $2 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Этап 13

Найдем первообразную $- 2 y^{2}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Этап 13.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Этап 15.2

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$