Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $24$ вместо $y$ в $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Этап 4.2

Упростим $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Этап 4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Этап 4.2.1.4

Умножим $12$ на $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Этап 4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $12$ .

$12 + K = 24$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$K = 24 - 12$

Этап 4.3.2

Вычтем $12$ из $24$ .

$K = 12$

Этап 5

Подставим $12$ вместо $K$ в $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $12$ вместо $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$