Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2

Упростим $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Этап 4.2.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$5 + K = 5$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$K = 5 - 5$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$K = 0$

Этап 5

Подставим $0$ вместо $K$ в $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Этап 5.2

Добавим $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ и $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$