Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 4 x + 10$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (6 x^{2} - 4 x + 10) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 6 x^{2} - 4 x + 10 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} - 4 x + 10 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 10 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 10 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 10 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 10 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 10 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 10 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 10 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 10 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y + C_{1} = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + K$