Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Этап 1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Этап 1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x + 7$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x + 7 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x + 7 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${(x + 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Перепишем ${(x + 7)}^{2}$ в виде $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Этап 3.5.4.1.2

Развернем $(x + 7) (x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Этап 3.5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Этап 3.5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Этап 3.5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Этап 3.5.4.1.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Этап 3.5.4.1.3.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Этап 3.5.4.1.3.2

Добавим $7 x$ и $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Этап 3.5.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Этап 3.5.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Этап 3.5.4.1.5.2

Перенесем $49$ влево от $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Этап 3.5.4.1.6

Изменим порядок множителей в $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$