Математический анализ Примеры

$(2 x + e^{y}) d x + x e^{y} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + e^{y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{y}$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Этап 2.2

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{y}$ по $x$ равна $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $e^{y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{y} = e^{y}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$e^{y} = e^{y}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y$

Этап 5.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$f (x, y) = x e^{y} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + g (x)] = 2 x + e^{y}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x e^{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{y}$ по $x$ равна $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Этап 8.3.3

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y}$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x + e^{y}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y} - e^{y}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x + e^{y} - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $e^{y}$ из $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Этап 10

Найдем первообразную $2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Этап 10.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Этап 10.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + x^{2} + C$