Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2 x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Этап 1.2.6

Упростим.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2 x + 1}{x}$ и $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.2.2

Объединим $e^{2 x + \ln (x)}$ и $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.3

Чтобы записать $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ из $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ из $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ из $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ из $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.5.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Этап 2.6

Умножим $e^{2 x + \ln (x)}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Этап 2.6.2

Объединим противоположные члены в $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Этап 2.6.2.2

Добавим $0$ и $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Этап 2.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Этап 2.8

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $e^{2 x + \ln (x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Этап 7.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$